ロジックとメタロジック
ある意味では、ロジックは、1次の述語計算、つまり変数が固定ドメインの個人に限定される計算で識別されます。ただし、「=」で表されるアイデンティティのロジックも含まれる場合があります。ロジックの一部として、アイデンティティの通常のプロパティを取ります。この意味で、Gottlob Fregeは1879年に論理の公式計算を実現しました。ただし、述語（またはクラスと関係）に及ぶものなど、より高次の型の変数を認める高次述語計算も含まれると論理が解釈される場合があります） 等々。しかし、それは集合論を含めるための小さな一歩であり、実際、公理的集合論はしばしば論理の一部と見なされます。ただし、この記事では、第一の意味での議論をロジックに限定する方が適切です。
論理学者にとって重要なすべての定理は論理学に関するものであり、したがって、メタロジックに属しているため、ロジックの重要な発見とメタロジックの発見を区別することは困難です。pが数学の定理、特に論理に関するものであり、Pがpを証明するために使用される数学的公理の結合である場合、すべてのpは論理で「not-Pまたはp」の定理に変換できます。数学は、しかしながら、論理で形式化されたすべてのステップを明示的に実行することによっては行われません。公理の選択と直観的な把握は、数学とメタ数学の両方にとって重要です。第一次世界大戦の直前にアルフレッドノースホワイトヘッドとベルトランドラッセルによって実行されたものなど、論理の実際の派生は、論理学者にとって本質的な関心はほとんどありません。したがって、メタロジックという用語を導入することは冗長に見えるかもしれません。ただし、現在の分類では、メタロジックは論理結石に関する調査結果だけでなく、一般的な形式システムおよび形式言語の研究も扱っていると考えられています。
通常の正式なシステムは論理計算とは異なり、システムには通常意図された解釈がありますが、論理計算は意図的に可能な解釈を開いたままにします。したがって、たとえば、形式システムにおける文の真実または虚偽について話すが、論理計算に関しては、有効性（つまり、すべての解釈またはすべての可能な世界において真実である）および充足可能性（またはモデルを持つこと、つまり、特定の解釈において真実であること）。したがって、論理計算の完全性は形式システムのそれとはかなり異なる意味を持っています。論理計算は、いくつかの解釈では真であり、他では偽であるので、文もその否定も定理ではないような多くの文を許可します。すべての有効な文が定理であることだけが必要です。
