カテゴリー理論
数学の抽象化
数学の開発における最近の傾向の1つは、抽象化の段階的なプロセスです。ノルウェーの数学者Niels Henrik Abel（1802–29）は、5次の方程式は、一般に、部首では解けないことを証明しました。フランスの数学者ÉvaristeGalois（1811–32）は、一部はAbelの研究によって動機付けられており、多項式を解くために必要な条件を決定するために、特定の順列グループを導入しました。これらの具体的なグループはすぐに抽象グループを生み出し、それらは公理的に記述されました。次に、グループを研究するには、異なるグループ間の関係、特に、グループの操作を維持しながら、あるグループを別のグループにマッピングする準同型性を調べる必要があることがわかりました。したがって、人々は現在グループの具体的なカテゴリーと呼ばれるものを研究し始めました。そのオブジェクトはグループであり、矢印は準同型です。具体的なカテゴリーが抽象的なカテゴリーに置き換えられるのにそれほど時間はかかりませんでした。
カテゴリーの重要な概念は、第二次世界大戦の終わりにサミュエルアイレンバーグとサンダースマックレーンによって導入されました。これらの現代のカテゴリは、現在のコンテキストではタイプと呼ばれるアリストテレスのカテゴリと区別する必要があります。カテゴリには、オブジェクトだけでなく、それらの間に矢印（射、変換、またはマッピングとも呼ばれます）があります。
多くのカテゴリには、いくつかの構造と矢印を備えたオブジェクトセットがあり、この構造を保持しています。したがって、セット（空の構造を持つ）とマッピング、グループとグループの準同型写像、リングとリングの同型写像、ベクトル空間と線形変換、トポロジー空間と連続写像などのカテゴリが存在します。オブジェクトと矢印の間の関係を維持するカテゴリ間の射が呼び出されるとき、さらに抽象的なレベルでは、（小さな）カテゴリとファンクタのカテゴリも存在します。
すべてのカテゴリがこの具体的な方法で表示できるわけではありません。たとえば、演繹システムの式は、矢印f：A→BがAからのBの演繹であるカテゴリのオブジェクトと見なされる場合があります。実際、この観点は、式が考えられている理論的なコンピュータサイエンスでは重要です。タイプとしての控除と操作としての控除。
より正式には、カテゴリは（1）オブジェクトA、B、C、…のコレクションで構成されます。。。、（2）コレクション内のオブジェクトの順序付けられたペアごとに、アイデンティティI A：A→A を含む関連する変換のコレクション、および（3）カテゴリ内のオブジェクトの順序付けられた各トリプルの関連する構成の法則f：A→Bおよびg：B→C構成gf（またはg○f）は、AからCへの変換、つまりgf：A→Cです。さらに、連想法則と恒等式が必要です（ここで、組成は定義されています）、つまり、h（gf）=（hg）fおよび1 B f = f = f1 Aです。
ある意味では、抽象カテゴリのオブジェクトには、ライプニッツのモナドのようなウィンドウはありません。オブジェクトAの内部を推測するには、他のオブジェクトからAへのすべての矢印を見るだけで済みます。たとえば、セットのカテゴリでは、セットAの要素は、典型的な1要素セットからAへの矢印で表すことができます。同様に、小さなカテゴリのカテゴリで、1が1つのオブジェクトと非識別矢印のないカテゴリである場合、カテゴリAのオブジェクトはファンクタ1 → Aで識別できます。さらに、2が2つのオブジェクトと1つの非同一矢印を持つカテゴリである場合、Aの矢印はファンクタ2 → Aで特定できます。
同型構造
矢印f：A→Bは、fの逆の矢印g f B→Aがある場合、つまりg○f = 1 Aおよびf○g = 1 Bの場合、同型と呼ばれます。これはA≅Bと表記され、AとBは同型と呼ばれます。これは、それらが本質的に同じ構造を持ち、それらを区別する必要がないことを意味します。数学エンティティはカテゴリのオブジェクトなので、同型までしか与えられません。彼らの伝統的な集合論的構造は、一貫性を示すのに役立つ目的を果たすことを除いて、本当に無関係です。
たとえば、整数のリングの通常の構成では、整数は自然数のペア（m、n）の同値類として定義されます。ここで、（m、n）は（m '、n'）と同等です。 m + n ′= m′ + nの場合のみ。（m、n）の同値類はm − nと見なされるという考え方です。ただし、カテゴリ学者にとって重要なことは、整数のリングℤがリングおよび準同型のカテゴリの最初のオブジェクトであることです。つまり、すべてのリングforには一意の準同型ℤ→ℝがあります。このように見れば、ℤは同型までしか与えられません。同じ趣旨で、ℤが有理数のフィールドinに含まれているのではなく、準同型ℤ→ℚが1対1であるとだけ言われるべきです。同様に、πと√-1の平方根の両方のセットのセット（無限大）として表現される場合、πのセット理論上の交差について話しても意味がありません。
財団や他の場所で特に興味深いのは、随伴ファンクター（F、G）です。これらは2つのカテゴリ?とbetweenの間のファンクタのペアであり、oppositeの矢印F（A）→Bのセットと矢印A→G（Bのセットの間に1対1の対応が存在するように反対方向に進みます）in ?—つまり、セットが同型である。
