微分方程式、1つ以上の導関数を含む数学的ステートメント、つまり、連続的に変化する量の変化率を表す用語。微分方程式は、変化するシステムで直接観測および測定できるのは変化率であるため、科学および工学、ならびに定量研究の他の多くの分野で非常に一般的です。微分方程式の解は、一般に、1つの変数の1つ以上の他の変数への関数依存を表す方程式です。通常、元の微分方程式にはない定数項が含まれています。これを別の言い方をすると、微分方程式の解は、少なくとも特定の制約内で、元のシステムの動作を予測するために使用できる関数を生成します。
分析：ニュートンおよび微分方程式
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分析の適用は微分方程式であり、さまざまな量の変化率を現在の値に関連付けます。
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微分方程式はいくつかの広いカテゴリーに分類され、これらはさらに多くのサブカテゴリーに分けられます。最も重要なカテゴリは、常微分方程式と偏微分方程式です。方程式に含まれる関数が単一の変数のみに依存する場合、その導関数は常微分であり、微分方程式は常微分方程式として分類されます。一方、関数がいくつかの独立変数に依存し、その導関数が偏微分である場合、微分方程式は偏微分方程式として分類されます。以下は常微分方程式の例です。
これらの中で、yは関数を表し、tまたはxは独立変数です。記号kおよびmは、ここでは特定の定数を表すために使用されています。
どちらの型であっても、微分方程式はn次の導関数を含み、これよりも高次の導関数を含まない場合、n次のものであると言います。この方程式は、2次の偏微分方程式の例です。常微分方程式と偏微分方程式の理論は著しく異なります。このため、2つのカテゴリは別々に扱われます。
単一の微分方程式の代わりに、研究の対象はそのような方程式の連立システムであってもよい。動力学の法則の定式化は、しばしばそのようなシステムにつながります。多くの場合、n次の単一の微分方程式は、それぞれが1次であるn連立方程式のシステムで有利に置き換えることができるため、線形代数の手法を適用できます。
たとえば、関数と独立変数がyとxで表される常微分方程式は、xの関数としてのyの本質的な特性の暗黙の要約です。これらの特性は、yの明示的な式を作成できれば、おそらく分析によりアクセスしやすくなります。このような公式、または少なくとも微分方程式から導き出せるxおよびyの方程式（導関数を含まない）は、微分方程式の解と呼ばれます。代数と微積分の適用によって方程式から解を導き出すプロセスは、方程式の解法または積分と呼ばれます。ただし、明示的に解くことができる微分方程式は、少数ではあるが形成されることに注意してください。したがって、ほとんどの関数は間接的な方法で研究する必要があります。検査用に製造する可能性がない場合は、その存在も証明する必要があります。実際には、コンピュータを含む数値解析からの方法を使用して、有用な近似解を取得します。
