円錐曲線とも呼ばれる、円錐形状のは、任意の曲線は、平面の交点と右の円錐によって生成しました。円錐に対する平面の角度に応じて、交差は円、楕円、双曲線、または放物線になります。平面が頂点のみを通過する（単一の点を生成する）か、頂点と円錐上の別の点を通過する（1つの直線または2つの交差する直線を生成する）場合、交差の特別な（縮退）ケースが発生します。図を参照してください。
射影幾何学：射影円錐セクション
円錐断面 sは、直円錐の平面断面と見なすことができます（図を参照）。に関して
。
円錐曲線のセクションの名前ではなく、基本的な説明は、プラトンとクニドゥスのエウドクサスの両方の生徒であるメナエクムス（紀元前350年頃）に遡ることができます。「偉大な幾何学」として知られるペルガのアポロニウス（紀元前262〜190年）は、円錐セクションに名前を付け、双曲線の2つの分岐を定義した最初の双曲線（二重円錐を想定）でした。アポロニウスの円錐形のセクションに関する8巻の論文であるコニックスは、古代世界で最も優れた科学的研究の1つです。
分析的定義
円錐曲線は、固定点（焦点）からの距離と固定線（準線）からの距離の比率が一定になるように移動する点のパス（位置）である平面曲線とも呼ばれます。カーブの偏心。離心率がゼロの場合、曲線は円です。1に等しい場合、放物線。1未満の場合は楕円。また、1より大きい場合は双曲線です。図を参照してください。
すべての円錐セクションは、Ax 2 + By 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 の形式の2次多項式のグラフに対応します。ここで、xとyは変数で、A、B、C、D、E、およびFは、特定の円錐曲線に依存する係数です。座標軸を適切に選択することで、任意の円錐曲線の方程式を3つの単純なr形式の1つに減らすことができます：x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1、x 2 / a 2 − y 2 / b 2 = 1またはy 2 = 2px。それぞれ、楕円、双曲線、および放物線に対応します。（a = bの楕円は実際には円です。）幾何学曲線の代数解析のための座標系の広範な使用は、RenéDescartes（1596–1650）に由来しています。幾何学の歴史：デカルト幾何学を参照してください。
ギリシャの起源
円錐セクションの初期の歴史は、「キューブを2倍にする」という問題に加わっています。キレネのエラトステネス（紀元前276〜190紀元前）によれば、デロスの人々は疫病を終わらせるためにアポロの神託を調べ（紀元前430紀元前）、古い祭壇の2倍の新しい祭壇を建てるように指示されました同じ立方体の形をしています。困惑して、デリアンはプラトンに相談しました。プラトンは、「神託は、神が2倍の大きさの祭壇を望んでいるのではなく、数学の怠慢と彼らの軽蔑のためにギリシア人を恥じさせることを彼らに課したことを望んでいたことを意味しました。ジオメトリ用。」キオスのヒポクラテス（紀元前470〜410紀元前）は、「大連問題」がaと2a（それぞれの祭壇の体積）の間の2つの平均比例を見つけること、つまり、aが：x = x：y = y：2a。これは、2つの放物線と双曲線にそれぞれ対応する式x 2 = ay、y 2 = 2ax、xy = 2a 2のいずれか2つを同時に解くことと同じです。その後、アルキメデス（紀元前290〜211年）は、円錐曲線を使用して、球を所定の比率の2つのセグメントに分割する方法を示しました。
ディオクル（紀元前200年頃）は、回転放物面の回転軸（放物線を対称軸の周りに回転させることによって生成される）に平行な光線、たとえば太陽からの光線が焦点で合流することを幾何学的に示しました。アルキメデスはこの特性を利用して敵の船に火をつけたと言われています。楕円の焦点特性は、コンスタンティノープルのハギアソフィア大聖堂（537年に完成）の建築家の1人であるTrallesのAnthemiusによって、祭壇が1日中太陽光に照らされることを保証する手段として引用されました。
