リーマン仮説数学

リーマン仮説、数論では、リーマンゼータ関数の解の位置に関するドイツの数学者Bernhard Riemannによる仮説。これは、素数定理に関連しており、素数の分布に重要な意味を持っています。リーマンは、1859年11月版のMonatsberichte der Berliner Akademie（「Monthly Reviewベルリンアカデミーの”）。

ゼータ関数は無限級数ζ（s）= 1 + 2 ^−s + 3 ^−s + 4 ^−s +⋯ として定義されます。または、よりコンパクトな表記では、

ここで、nの項の合計（Σ）は1から無限大まで正の整数を通り、sは1より大きい固定の正の整数です。ゼータ関数は、18世紀にスイスの数学者Leonhard Eulerによって最初に研究されました。（このため、これはオイラーゼータ関数と呼ばれることもあります。ζ（1）の場合、この系列は、古くから無限に増加することが知られている調和系列です。つまり、その合計は無限です。）オイラーは、 1735年にζ（2）=πことが証明された²スイスベルヌーイの家族（ヤコブ、ヨハン、そしてダニエル）などの時代の最も偉大な数学者を逃れていた問題は、/ 6。より一般的には、オイラーは偶数整数のゼータ関数の値とベルヌーイ数の関係を発見しました（1739）。これはx /（e ^x − 1）のテイラー級数展開の係数です。（指数関数も参照してください。）さらに驚くべきことに、1737年にオイラーはゼータ関数に関連する式を発見しました。これには、正の整数を含む無限の項のシーケンスと、すべての素数を含む無限積が含まれます。

リーマンは、ゼータ関数の研究を拡張して複素数x + iyを含めました。ここで、i =複素数平面の線x = 1を除いて、√−1の平方根です。リーマンは、すべての負の偶数の整数、-2、-4、-6に対して、ゼータ関数がゼロに等しいことを知っていました。

。

（いわゆるトリビアルゼロ）であり、厳密に線x = 0とx = 1の間にある複素数のクリティカルストリップに無限数のゼロがあります。また、すべての非トリビアルゼロは、臨界線のx = ¹ / ₂。リーマンは、すべての非自明なゼロが臨界線上にあると推測しました。これは、その後リーマン仮説として知られるようになった推測です。

1914年英語Godfreyのハロルド・ハーディは、ζの溶液（S）の無限数が臨界線X =で0が存在=ことを証明した数学¹ / ₂。その後、さまざまな数学者によって、解の大部分がクリティカルライン上にある必要があることが示されましたが、すべての重要な解が存在するという頻繁な「証明」には欠陥があります。コンピュータもソリューションのテストに使用されており、最初の10兆個の重要なソリューションが重要な線上にあることが示されています。

リーマン仮説の証明は、数論や暗号での素数の使用に広範囲の影響を及ぼします。

リーマン仮説は、数学において未解決の最大の問題であると長い間考えられてきました。これは、1900年8月8日にパリで開催された第2回国際数学会議でドイツの数学者デイビッドヒルベルトによって20世紀の数学者に挑戦として提示された10の未解決の数学問題（印刷された住所の23）の1つでした。2000年にアメリカの数学者スティーブンスメールはヒルベルトの考えを21世紀の重要な問題のリストで更新した。リーマン仮説が一番でした。2000年には、米国マサチューセッツ州ケンブリッジのクレイ数学研究所が特別賞を受賞した7つの数学問題の1つであるミレニアム問題に指定されました。各ミレニアム問題の解決策は100万ドルの価値があります。2008年に米国国防総省高等研究計画局（DARPA）は、DARPA数学課題の1つとして、23の数学問題として資金提供の研究提案を募集しました。「数学課題19：リーマン仮説を解決します。数論の聖杯。」