ルーンの求積法

キオスのヒポクラテス（紀元前460紀元前）は、円弧として知られる円弧の間の月形の領域は、直線領域または直角位相として正確に表現できることを示しました。次の単純なケースでは、直角三角形の辺の周囲に作成された2つのレーンは、三角形の面積と等しい面積を持っています。

右側のΔABCから始めて、斜辺であるAB（側面c）と直径が一致する円を描きます。斜辺の円の直径で描かれた直角三角形は円内に内接する必要があるため、Cは円上になければなりません。
図のように、直径AC（側面b）およびBC（側面a）の半円を描きます。
図に示すように、結果のレーンL ₁とL ₂、および結果のセグメントS ₁とS ₂にラベルを付けます。
ここで、ルーン（L ₁とL ₂）の合計は、それらを含む半円（L ₁ + S ₁とL ₂ + S ₂）の合計から2つのセグメント（S ₁とS ₂）を引いた値と等しくなければなりません。したがって、L ₁ + L ₂ = ^π / ₂（^b / ₂）² -S ₁ + ^π / ₂（^a / ₂）² -S ₂（円の面積は半径の2乗のπ倍であるため）
セグメントの合計（S ₁とS ₂）は、ABに基づく半円の面積から三角形の面積を引いたものに等しくなります。したがって、S ₁ + S ₂ = ^π / ₂（^c / ₂）² -ΔABC。
ステップ5の式をステップ4に代入し、共通の項を除外して、L ₁ + L ₂ = ^π / ₈（a ² + b ² -c ²）+ΔABC。
∠ACB= 90°、以降² + B ² C - ²ピタゴラスの定理による= 0、。したがって、L ₁ + L ₂ =ΔABC。

ヒポクラテスはいくつかの種類のルーンを四角形にすることに成功しました。半円よりも大きい弧と小さい弧のいくつかは、彼は自分の方法で円全体を二乗できると信じていたかもしれません。古典的な時代の終わりに、ユークリッドの断片のラテン語の翻訳が幾何学の明かりを半千年もちらつかせ続けるBoethius（c。ad 470–524）は、誰かが円の二乗を達成したと述べた。未知の天才が車線を使用したのか他の方法を使用したのかは不明です。なぜなら、スペース不足のために、ボエティウスはデモをしなかったからです。彼はこのようにして、それを実行するのに明らかに有用である幾何学の断片とともに、円の直角位相の挑戦を伝えました。ヨーロッパ人は啓蒙主義への不幸な仕事を続けました。最後に、1775年、パリ科学アカデミーは、提出された多くの解決策の誤りを発見するというタスクにうんざりし、円二乗器との関係を拒否しました。