正式な論理

セマンティックタブロー

1980年代以降、PCまたはLPCのいずれかで引数の有効性を判断する別の手法が、その学習の容易さとコンピュータプログラムによる簡単な実装の両方により、ある程度の人気を得ています。もともとはオランダの論理学者エバートW.ベスによって提案されましたが、アメリカの数学者で論理学者のレイモンドM.スマリャンによってより完全に開発され、公表されました。結論が偽である間に有効な引数の前提が真であることが不可能であるという観察に基づいて、このメソッドは、それらがすべて同時に満たされ、否定が否定されるように前提を解釈（または評価）しようとします。結論も満足です。そのような試みが成功した場合、その議論は無効であると示され、そのような解釈を見つけられなかった場合、それは有効であると示されます。

セマンティックタブローの構築は次のように進行します。命題の結合詞として否定（〜）と分離（∨）のみを使用して、PCで引数の結論の前提と否定を表現します。シーケンス内の2つの否定記号の出現をすべて削除します（たとえば、~~~~~ aは〜aになります）。次に、下に分岐するツリーダイアグラムを作成して、各選言が2つの分岐に置き換えられます。どちらかの分岐が真の場合、元の分離が真になります。De Morganの法則を参照すると、両方の分離の否定が真である場合に備えて、分離の否定が真であることが示されています[つまり、（（〜∨q）≡（〜p・∼q）]。この意味論的観察は、選言の否定が各選言の否定を含む1つの分岐になるという規則につながります。

次の引数を検討してください。

書く：

次に、選言を取り消し、2つのブランチを形成します。

少なくとも1つの分岐のすべての文が真である場合にのみ、元の前提が真であり、結論が偽である可能性があります（結論の否定の場合と同じです）。ツリーの最上部への各分岐で線を上にトレースすると、左側の分岐でaを評価しないと、その分岐のすべての文が値trueを受け取ることになります（aと〜aが存在するため）。。同様に、右側のブランチでは、bと∼bの存在により、評価の結果、ブランチのすべての文が値trueを受け取ることが不可能になります。これらはすべて可能なブランチです。したがって、前提が真であり、結論が偽である状況を見つけることは不可能です。したがって、元の引数は有効です。

この手法は、他の接続詞を処理するように拡張できます。

さらに、LPCでは、定量化されたwffをインスタンス化するためのルールを導入する必要があります。明らかに、（∀x）ϕxと∼ϕyの両方を含む分岐は、その分岐内のすべての文が同時に満たされるわけではない（ω-一貫性の仮定の下で、メタロジックを参照）。この場合も、すべてのブランチが同時に満たされることができない場合、元の引数は有効です。

LPCの特別なシステム

上記で説明したLPCは、さまざまな方法でwffsの範囲を制限または拡張することによって変更できます。

1.LPCの部分システム。ここでは、制限によって生成されるより重要なシステムのいくつかについて概説します。
- a。すべての述語変数がモナディックでありながら、無限の数の個別変数と述語変数を許可することが必要になる場合があります。その場合、アトミックwffは、述語変数とそれに続く単一の個別変数で構成される単純なものです。それ以外の場合、形成ルールは以前と同じままで、有効性の定義も以前と同じですが、明らかな方法で簡略化されます。このシステムはモナディックLPCとして知られています。プロパティのロジックは提供しますが、関係のロジックは提供しません。このシステムの重要な特徴の1つは、決定可能であることです。（ただし、単一のダイアディック述語変数を導入してもシステムは決定不可能になり、実際、単一のダイアディック述語変数のみを含み、他の述語変数がまったくないシステムであっても、決定不能であることが示されています。）
- bさらに単純なシステムは、（1）すべての述語変数がモナディックであること、（2）単一の変数（たとえば、x）のみが使用されること、（3）この変数のすべての出現がバインドされること、および（ 4）他の範囲内で数量詞が発生しないこと。このシステムのwffの例は、（∀x）[ϕx⊃（ψx・χx）]（「ϕは、everとbothの両方です」）です。（∃x）（ϕx・∼ψx）（「Thereでなくψでないものがある」）; および（∀x）（ϕx⊃ψx）⊃（∃x）（ϕx・ψx）（「もしϕがϕなら、何かはϕとbothの両方です」）。このシステムの表記は、すべての場所でxを省略し、「Something is ϕ」の場合は∃ϕ、「Whatever is ϕ isψ」の場合は∀（ϕ⊃ψ）と書くことで簡略化できます。このシステムは、モナディックLPC（その一部）よりも初歩的ですが、さまざまな推論の形式を表すことができます。それもまた決定可能なシステムであり、基本的な種類の決定手順をそれに与えることができます。
2. LPCの拡張。LPCにさまざまなタイプの新しいシンボルを追加することにより、より幅広い命題を表現できる、より精巧なシステムが構築されました。そのような追加の最も簡単なものは次のとおりです。
- a.1つ以上の個々の定数（たとえば、a、b、
  
  。
  
  ）：これらの定数は特定の個人の名前として解釈されます。形式的には、量指定子内では発生できないという事実により、個々の変数と区別されます。たとえば、（∀x）は量指定子ですが、（∀a）は量指定子ではありません。
- b.1つ以上の述語定数（たとえば、A、B、
  
  。
  
  ）、それぞれ特定の程度の、特定のプロパティまたは関係を指定するものと見なされます。

もう少し詳細な説明が必要な追加の可能性は、関数を表すように設計されたシンボルで構成されます。関数の概念は、現在の目的では次のように十分に説明できます。すべての引数が指定されるたびに一意のオブジェクト（関数の値と呼ばれる）を指定するルールがある場合、n個の引数（または次数n）の特定の関数があると言われます。たとえば、人間の領域では、「〜の母」はモナド関数（1つの引数の関数）です。なぜなら、すべての人間には、その母であるユニークな個人がいるからです。そして自然数の領域（すなわち、0、1、2、

。

）、「-と-の合計」は2つの引数の関数です。自然数の任意のペアには、それらの合計である自然数があるためです。関数シンボルは、他の名前（引数）から名前を形成すると考えることができます。したがって、xとyが数値を指定するときはいつでも、「xとyの合計」も数値を指定し、他の種類の関数と引数についても同様です。

LPCで関数を表現できるようにするために、以下を追加できます。

c.1つ以上の関数変数（たとえば、f、g、

。

）または1つ以上の関数定数（F、G、

。

）または両方、特定の程度のそれぞれ。前者は指定された次数の関数に及ぶものとして解釈され、後者はその次数の特定の関数を指定するものとして解釈されます。

a〜cのいずれかまたはすべてをLPCに追加する場合、下部の述語計算（上記の下部の述語計算を参照）のセクションの最初の段落にリストされている形成規則を変更して、新しいシンボルを組み込むことができるようにする必要があります。 wffs。これは次のようにして行うことができます：用語は、（1）個々の変数または（2）個々の定数または（3）関数変数または次数nの関数定数を任意のn項の前に付けることによって形成される式として定義されます（これらの用語（関数シンボルの引数）は通常、コンマで区切られ、括弧で囲まれます）。次に、フォーメーションルール1は次のものに置き換えられます。

1'。n次の項が後に続くn次の述語変数または述語定数で構成される式はwffです。

LPCの公理化に関するセクション（上記のLPCの公理化を参照）で与えられている公理的根拠にも、次の変更が必要です。公理スキーマ2では、βが形成されるときに、任意の項がaを置き換えることができます。ただし、項はβに拘束されます。次の例は、LPCへの前述の追加の使用法を示しています。個々の変数の値を自然数にします。個々の定数aとbを、それぞれ数値2と3を表します。Aは「素数」であることを意味します。Fを2項関数の「和」を表すとする。次に、AF（a、b）は「2と3の合計は素数である」という命題を表し、（∃x）AF（x、a）は「2と3の合計が素数であるような数が存在する」という命題を表します。」

定数の導入は通常、オブジェクト、プロパティ、関係、またはそれらによって表される関数を保持する原則を表現するように設計された、それらの定数を含む特別な公理の公理的基礎への追加を伴いますが、オブジェクト、プロパティを保持しません、関係、または関数一般。たとえば、定数Aを使用して、ダイアジック関係を「より大きい」と表現することができます（そのため、Axyは「xがyより大きい」などを意味します）。この関係は、他の多くの関係とは異なり、推移的です。つまり、1つのオブジェクトが1秒よりも大きく、その2番目のオブジェクトが3番目よりも大きい場合、最初のオブジェクトは3番目よりも大きくなります。したがって、以下の特別な公理型が追加されるかもしれない：T場合に₁、T ₂、及びT _3は、（ATその後、任意の用語である₁ T ₂では・₂ T ₃）⊃で₁ T ₃公理です。このような手段により、システムを構築して、さまざまな特定の分野の論理構造を表現することができます。この種のほとんどの作業が行われた領域は、自然数演算の領域です。

PCとLPCは、単一のシステムに結合される場合があります。これは、命題変数をLPCプリミティブのリストに追加し、構成変数を単独で立っている命題変数がwffであるという効果に追加し、公理スキーマ1で「LPC」を削除することによって最も簡単に実行できます。（p∨q）⊃（∀x）ϕxおよび（∃x）[p⊃（∀y）ϕxy]として。

3.LPC-with-identity。「ある」という言葉は常に同じように使用されているわけではありません。（1）「ソクラテスはうなずく」のような命題では、「is」の前の表現は個人を示し、それに続く表現はその個人に帰属するプロパティを表します。しかし、（2）「ソクラテスはヘムロックを飲んだアテナイの哲学者です」などの命題では、「is」の前後の表現はどちらも個人に名前を付けます。全体の命題の意味は、最初に名前が付けられた個人が2番目に指定された個人と同じ個人。したがって、2では「is」を「と同じ個体」に拡張できますが、1ではできません。2で使用される「is」は、命題が2人の個人間で保持すると主張する2項関係、つまりアイデンティティを意味します。アイデンティティの命題は、この文脈ではこれ以上のものを主張しないものとして理解されます。特に、2つの命名式の意味が同じであるとは見なされません。この最後のポイントを説明するために非常に議論された例は、「モーニングスターはイブニングスターです」です。「モーニングスター」と「イブニングスター」という表現が同じであることは誤りですが、前者が参照するオブジェクトが後者（惑星金星）が参照するオブジェクトと同じであることは事実です。

恒等命題の形式を表現できるようにするために、2項述語定数がLPCに追加されます。LPCの最も一般的な表記は=（以前の引数ではなく、その引数の間に記述される）です。x = yの意図された解釈は、xはyと同じ個体であり、最も便利な解釈は「xはyと同一である」です。その否定〜（x = y）は一般にx≠yと省略されます。以前に指定されたLPCモデルの定義（上記のLPCの有効性を参照）に、同じメンバーの場合、x = yの値が1になるという規則（意図した解釈と明白な方法で一致）が追加されました。 Dはxとyの両方に割り当てられ、それ以外の場合、その値は0になります。有効性は以前と同様に定義できます。次の追加（またはいくつかの同等のもの）がLPCの公理的基礎に加えられます：aとbは任意の個別の変数であり、αとβはそれだけが異なるwffsである公理x = xと公理スキーマαにaが自由に出現する1つ以上の場所、βにbが自由に出現する場所（a = b）⊃（α⊃β）は公理です。このようなシステムは、同一性の低い述語計算として知られています。もちろん、上記の「LPCの拡張」で参照した他の方法でさらに拡張することもできます。その場合、任意の項が=の引数になることがあります。

アイデンティティは同値関係です。つまり、それは反射的で対称的で推移的です。その反射性は、公理x = xで直接表され、その対称性と推移性を表す定理は、与えられた基底から簡単に導出できます。

LPC-with-identityの特定のwffは、特定のプロパティを所有するものの数についての命題を表します。「少なくとも1つはisです」はもちろん、すでに（∃x）ϕxで表すことができます。「少なくとも2つの異なる（同一でない）物はareです」は（∃x）（∃y）（ϕx・ϕy・x≠y）;で表すことができます。そしてシーケンスは明白な方法で続けることができます。「せいぜい1つはisです」（つまり、「2つの異なるものは両方ともϕではありません」）は、最後に述べたwffの否定または同等の（∀x）（∀y）[（ϕx・ϕy）⊃x = y]、そしてシーケンスは再び簡単に続けることができます。「正確に1つのものはis」の式は、「少なくとも1つのものはϕ」と「最大1つのものはis」の式を結合することによって取得できますが、この結合と同等のより単純なwffは（∃x）[ϕx・（∀y）（ϕy⊃x = y）]は、「ϕの何かがあり、ϕの何かがそのものだ」を意味します。「厳密に2つのものはthings」という命題は、（∃x）（∃y）{ϕx・ϕy・x≠y・（∀z）[ϕz⊃（z = x∨z = y）]}で表すことができます。すなわち、「それぞれがidentである2つの同一でないものがあり、ϕであるものはいずれか一方または他方です。」明らかに、このシーケンスを拡張して、すべての自然数nに対して「正確にn個のものはare」の式を与えることもできます。「正確に1つはis」のwffを（∃！x）ϕxに短縮すると便利です。この特別な数量詞は、「E-Shriek x」と読み上げられることがよくあります。

明確な説明

特定のプロパティϕが1つだけのオブジェクトに属している場合、そのオブジェクトに名前を付ける式があると便利です。この目的の一般的な表記法は（ιx）ϕxです。これは、「ϕであるもの」またはより簡単に「the」と読み替えることができます。一般に、aが任意の個々の変数であり、αが任意のwffである場合、（ιa）αは、αを真にするaの単一の値を表します。「そのとおり」の形式の表現は、明確な記述と呼ばれます。（ιx）は記述演算子として知られ、個人の名前を命題形式から形成するものと考えることができます。（ιx）は、量指定子に似ています。これは、wffαの前に付けると、α内のxのすべての自由発生に結合します。バインドされた変数の削除も許可されます。最も単純なケースでは、（ιx）ϕxと（ιy）ϕyは、それぞれ単に「the」と読むことができます。

形成規則に関する限り、（ιa）αという形の表現を用語として数えることにより、明確な説明をLPCに組み込むことができます。上記のルール1 'の「LPCの拡張」では、原子式（恒等式を含む）でそれらを使用できます。「Theは（つまり、プロパティを持っています）ψ」は、ψ（ιx）ϕxとして表すことができます。「yはasと（同じ個人）です。y=（ιx）ϕx; 「Theはasと（同じ個体）です」（ιx）ϕx =（ιy）ψy; など。

明確な説明を含む命題の正しい分析は、かなりの哲学的論争の対象となっています。ただし、広く受け入れられている1つの説明（実質的にPrincipia Mathematicaで提示され、ラッセルの記述理論として知られている）は、「Theはϕである」とは、1つだけがϕであり、そのalsoもthatであることを意味すると理解されるべきであるとしています。その場合、説明演算子を含まないLPC-with-identityのwffで表すことができます。つまり、（1）（∃x）[ϕx・（∀y）（ϕy⊃x = y）・ψx]です。同様に、「yはϕ」は「yはϕであり、それ以外はis」と分析されるため、（2）ϕy・（∀x）（ϕx⊃x = y）で表現できます。「Theはψです」は「正確に1つのものはϕ、正確に1つのものはwhatever、そして何でもϕはas」として分析されるため、（3）（∃x）[ϕx・（∀y）（ ϕy⊃x = y）]・（∃x）[ψx・（∀y）（ψy⊃x = y）]・（∀x）（ϕx⊃ψx）。ψ（ιx）ϕx、y =（ιx）ϕxおよび（ιx）ϕx =（ιy）ψyは、それぞれ（1）、（2）、および（3）の省略形と見なすことができます。さらに、より複雑なケースに一般化することにより、記述演算子を含むすべてのwffは、それを含まないより長いwffの省略形と見なすことができます。

「The ϕ isψ」の式として（1）につながる分析は、「The ϕ isψではない」の次のようになります：（4）（∃x）[ϕx・（∀y）（ϕy⊃x = y）・∼ψx]。（4）は（1）の否定ではないことに注意することが重要です。代わりに、この否定は（5）〜（∃x）[ϕx・（∀y）（ϕy⊃x = y）・ψx]です。（4）と（5）の意味の違いは、（4）はisであるものが1つだけある場合にのみ真であり、そのことはnotではないという事実にありますが、（5）はこの場合とまた、何もisがない場合、および複数のものがϕである場合も同様です。（4）と（5）の区別を怠ると、深刻な混乱を招く可能性があります。通常のスピーチでは、theがthatであることを否定する人が正確に1つのことはϕであることを認めているが、それがisであることを否定しているのか、それとも正確に1つの事がthatであることを否定しているのかはしばしば不明です。

ラッセルの記述理論の基本的な論点は、明確な記述を含む命題は、その記述が名前であるオブジェクトについてのアサーションではなく、特定の（かなり複雑な）プロパティが持つ実存的に定量化されたアサーションと見なされることです。インスタンス。これは正式には、上で概説した説明演算子を削除するためのルールに反映されています。