分析の歴史
ギリシャ人は絶え間ない等級に遭遇する
分析は、継続的な変化が重要である数学の部分から構成されます。これらには、モーションの研究と、滑らかなカーブとサーフェスのジオメトリ、特に接線、面積、ボリュームの計算が含まれます。古代ギリシャの数学者は分析の理論と実践の両方で大きな進歩を遂げました。理論は、ピタゴラスの不合理な大きさの発見によって約500 bce、ゼノの運動のパラドックスによって約450 bceを彼らに強いられました。
ピタゴラスと無理数
当初、ピタゴラス人はすべてのものは離散自然数（1、2、3、
。
）とその比率（通常の分数、または有理数）。しかし、この考え方は、単位正方形（つまり、辺の長さが1である正方形）の対角線が有理数として表現できないことが発見されたことにより、揺さぶられました。この発見は、直角三角形の斜辺上の正方形が他の2つの側の正方形の合計に等しいことを確立した独自のピタゴラスの定理によってもたらされました。現代の表記では、c 2 = a 2 + b 2です。単位正方形では、対角は直角三角形の斜辺であり、辺はa = b = 1です。したがって、その測定値は√2の平方根—無理数です。彼ら自身の意図に反して、ピタゴラス人はそれによって有理数が単純な幾何学的対象さえ測定するのに十分ではないことを示しました。（サイドバー：非可算を参照。）彼らの反応は、ユークリッドの要素のブックII（c。300 bce）に見られるように、有理数の幾何学的解釈を含む、線分の算術を作成することでした。ギリシア人にとって、線分は数値よりも一般的でした。これは、それらに連続および離散等級が含まれているためです。
実際、√2の平方根は、無限プロセスを介してのみ有理数に関連付けることができます。これは、有理数と線分の両方の計算を研究したユークリッドによって実現されました。彼の有名なユークリッドアルゴリズムは、自然数のペアに適用されると、有限のステップ数で最大公約数になります。ただし、√2と1の平方根など、無理な比率の線セグメントのペアに適用すると、終了できません。ユークリッドは、この非終了特性を非合理性の基準として使用しました。このように、非合理性はギリシャの数の概念に挑戦し、無限のプロセスに対処するように強いました。
ゼノのパラドックスと運動の概念
√2の平方根がギリシャ人の数の概念に対する挑戦であったように、ゼノのパラドックスは彼らの運動の概念に対する挑戦でした。アリストテレスは彼の物理学（約350紀元前）でゼノを次のように引用している：
移動したものは、コースの最後まで到達する前に途中まで到達しなければならないため、動きはありません。
Zenoの議論はアリストテレスを通してのみ知られています。アリストテレスは主に反論するためにそれらを引用しました。おそらく、ゼノは、どこかに行くために、最初に半分の道の前に、その四分の一の道の前に、そしてその八分の一の道の前などに行く必要があることを意味しました。距離を半分にするこのプロセスは無限に続くため（ギリシャ人が可能な限り受け入れない概念）、ゼノは現実が変化のない存在で構成されることを「証明」すると主張しました。それでも、ギリシア人は無限の嫌悪にもかかわらず、その概念は連続的な大きさの数学において不可欠であることに気づきました。それで彼らは、比率の理論と呼ばれる論理的なフレームワークで、そして無限の方法を使用して、可能な限り無限大について推論しました。
比率の理論は、ユードクサスによって約350紀元前に作成され、ユークリッドの要素のブックVに保存されていました。それらは、2つの等級が等しい場合、それらよりも小さい有理等級が同じである場合に等しくなるように定義することにより、有理等級と任意等級の間の正確な関係を確立しました。言い換えれば、2つのマグニチュードは、それらの間に厳密に合理的なマグニチュードが存在する場合にのみ異なっていました。この定義は、数千年に渡って数学者に役立ち、19世紀の分析の算術化への道を開きました。そこでは、任意の数が有理数に関して厳密に定義されました。比率の理論は、限界の概念の最初の厳密な扱いでした。これは、現代の分析の中心にある考え方です。現代の用語では、エウドクサスの理論は、任意の等級を有理等級の極限として定義し、等級の和、差、および積に関する基本定理は、極限の和、差、および積に関する定理と同等でした。
