リーマンゼータ関数、素数の特性を調査するための数論に役立つ関数。ζ（x）と書かれ、もともとは無限級数ζ（x）= 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x +⋯ として定義されていました。x = 1の場合、この系列は調和系列と呼ばれ、無限に増加します。つまり、その合計は無限です。xの値が1より大きい場合、連続する項が追加されると系列は有限数に収束します。xが1より小さい場合、合計は再び無限になります。ゼータ関数は1737年にスイスの数学者レオンハルトオイラーに知られていましたが、最初にドイツの数学者ベルンハルトリーマンによって広範囲に研究されました。
1859年にリーマンは、事前に割り当てられた制限までの素数の明示的な公式を提供する論文を発表しました。これは、素数の定理によって与えられた近似値に対する決定的な改善です。しかし、リーマンの公式は、ゼータ関数の一般化バージョンがゼロに等しい値を知ることに依存していました。（リーマンゼータ関数は、すべての複素数（x + iyという形式の数、i = √−1の平方根）に対して定義されます。ただし、線x = 1を除きます。）リーマンは、関数がすべての負の偶数に対してゼロに等しいことを知っていました。整数−2、−4、−6、
。
（いわゆるトリビアルゼロ）、および線x = 0とx = 1の間の複素数のクリティカルストリップに無限数のゼロがあること、そしてすべてのトリビアルゼロがクリティカルに関して対称であることも知っていました。線X = 1 / 2。リーマンは、すべての非自明なゼロが臨界線上にあると推測しました。これは、その後リーマン仮説として知られるようになった推測です。
1900年にドイツの数学者David Hilbertはリーマン仮説をすべての数学において最も重要な質問の1つと呼びました。これは、20世紀の数学者に挑戦した23の未解決問題の影響力のあるリストに含まれていることからもわかります。1915年にイギリスの数学者Godfrey Hardyが臨界線上に無限の数のゼロが発生することを証明し、1986年までに最初の1,500,000,001個の非自明なゼロがすべて臨界線上にあることが示されました。仮説はまだ間違っているかもしれませんが、この困難な問題の調査により、複素数の理解が深まりました。
