連続体仮説数学

連続体仮説、実数のセット（連続体）はある意味で可能な限り小さいという集合論の記述。1873年、ドイツの数学者Georg Cantorは、連続体が数えられないこと、つまり実数が数えられる数よりも無限大であることを証明しました。これは、数学の主題としての開始集合理論の重要な結果です。さらに、Cantorは、その要素の数またはそのカーディナリティーに従って無限セットのサイズを分類する方法を開発しました。（集合論：カーディナリティーと超有限数を参照してください。）これらの用語で、連続体仮説は次のように述べることができます：連続体のカーディナリティーは、数えられない最小の基数です。

集合論：基数と超有限数

。

連続体仮説として知られている推測。

カントールの表記法において、連続体仮説は、単純な方程式2によって記載することができる^{ℵ ₀} =ℵ ₁ ℵ、₀「（例えば、自然数の集合として）無限可算集合の基数であり、より大きなの基数よく注文可能なセットは」ℵある₁、ℵ ₂、

。

、ℵ _α、

。

、序数で索引付けされます。連続体濃度は2と等しくなるように示すことができる^{ℵ ₀}。したがって、連続体仮説は、自然数と連続体の中間にあるサイズのセットの存在を除外します。

2：強力なステートメントは、一般連続体仮説（GCH）である^{ℵ _α} =ℵ _{α+ 1}の各序数をαため。ポーランドの数学者ワッチャウシェルピスキは、GCHを使用することで、選択の公理を導き出すことができることを証明しました。

選択された公理と同様に、オーストリア生まれのアメリカの数学者クルトゲーデルは、1939年に他の標準的なツェルメロフランケン公理（ZF;

表）は一貫しており、連続体仮説やGCHさえ否定しません。つまり、GCHを他の公理に追加した結果は一貫しています。その後、1963年にアメリカの数学者Paul Cohenは、ZFが一貫しているという仮定の下で、ZFが連続体仮説の証明をもたらさないことを示すことで、この図を完成させました。

ZFは連続体仮説を証明も反証もしないため、集合が何であるかという非公式な概念に基づいて、連続体仮説を受け入れるかどうかという問題が残っています。数学的コミュニティーの一般的な答えは否定的です。連続体仮説は、制限を課す既知の理由がない状況での制限ステートメントです。集合論で、カーディナリティℵの各セットにパワーセット動作割り当てる_α基数2持っているすべての部分集合のセット、^{ℵ _α}。無限セットが持つ可能性のあるさまざまなサブセットに制限を課す理由はないようです。